Qualifié comme le « plus vieux problème d’algèbre », le défi de résoudre les polynômes de degré cinq ou plus vient d’être relevé grâce à une nouvelle méthode élaborée par un mathématicien australien.
L’histoire du problème polynomial
L’algèbre, souvent perçue comme un mélange mystérieux de chiffres et de lettres par les élèves, repose sur des équations appelées « polynômes », dont l’existence remonte à plusieurs millénaires. Les Babyloniens, il y a près de 4000 ans, avaient déjà résolu les polynômes du second degré grâce à ce que l’on appelle aujourd’hui la « méthode de complétion du carré ».
Cette méthode a évolué pour devenir la formule quadratique qui a permis, au XVIe siècle, de résoudre les polynômes de degré trois et quatre. L’algèbre joue un rôle clé dans de nombreux domaines, tels que l’informatique ou l’astronomie, notamment pour modéliser le mouvement des planètes. Pourtant, une question restait sans réponse : pourquoi cette technique ne fonctionne-t-elle pas pour les polynômes de degré cinq ou plus ?
Un mathématicien australien résout le plus vieux problème d’algèbre
Depuis 1832, grâce aux travaux du mathématicien français Évariste Galois, il est connu que la formule quadratique ne permet pas de résoudre les équations de degré cinq et supérieur. Cependant, Norman Wildberger, mathématicien à l’Université de Nouvelle-Galles du Sud (UNSW Sydney), a récemment développé une nouvelle approche pour surmonter cet obstacle millénaire.
Publié le 8 avril dans la revue The American Mathematical Monthly, cet article co-écrit avec l’informaticien Dr. Dean Rubine dévoile une solution inattendue : rejeter l’usage des radicaux — ces opérations qui extraient la racine d’un nombre — et remettre en question la validité des nombres irrationnels. Selon Wildberger, ces concepts reposeraient sur des bases imprécises et engendreraient des incohérences logiques en mathématiques.
Une nouvelle méthode fondée sur les séries entières et la combinatoire
La méthode de Norman Wildberger s’appuie sur des variantes polynomiales spécifiques appelées « séries entières », caractérisées par une infinité de termes en puissances de x. Elle intègre aussi de nouvelles suites de nombres illustrant des relations géométriques complexes, issues de la combinatoire. Un exemple célèbre de cette discipline est la suite des nombres de Catalan, découverte en 1838, qui permet de décomposer un polygone de forme quelconque.
Des tests effectués sur une équation cubique bien connue utilisée par Wallis au XVIIe siècle ont confirmé l’efficacité de cette méthode novatrice. Wildberger déclare : « Notre solution rouvre un livre jusque-là fermé de l’histoire des mathématiques ». Ce « livre » avait jusqu’ici connu des solutions approximatives pour les polynômes de degré cinq, mais celles-ci échappaient à l’algèbre pure.